Turing y sus patrones: el pionero de la biología matemática

El pasado verano, estando con nuestro bienamado editor Antonio Cabrales en King's College, en Cambridge, vimos un retrato de uno de sus mas famosos fellows: Alan Turing (1912-1954). Hablamos, claro, de que Turing es famoso por ser un pionero de la informática y por descifrar la máquina Enigma durante la segunda guerra mundial, y yo añadí: "Y además fue el pionero de la biología matemática", y Antonio me dijo: "¿Sí? No sabía nada". Yo le dije: "¿Pero cómo puedes ser tan ignorante?" Luego llegué a casa y le conté el caso a mi mujer (investigadora en física de materiales) y me dijo "Yo tampoco sabía nada". Y pensé (pero no dije): "¿Pero cómo puedes ser tan ignorante?"

Uno de los últimos trabajos de Turing antes de su triste final fue “La base química de la morfogénesis”, dedicado al estudio de cómo aparecen estructuras y formas (o "patrones") de manera espontánea en distintos sistemas físicos, químicos y biológicos. En la introducción al trabajo, Turing describe en pocas líneas su propósito, líneas que merece la pena copiar textualmente (traducidas) por lo claro que deja qué es y qué pretende un modelo matemático:

"En esta sección se describe un modelo matemático del embrión en crecimiento. Este modelo será una simplificación y una idealización, y por consiguiente una falsificación. Cabe esperar que las propiedades en las que se centra la discusión sean las más importantes en el estado actual del conocimiento."

Efectivamente, Turing se planteó el modelo más sencillo que uno puede pensar: un modelo de reacción-difusión, en el que consideró dos sustancias químicas en un espacio unidimensional, que reaccionan una con la otra de acuerdo a ciertas funciones y, lo más importante, que se difunden en el espacio, es decir, que si están muy concentradas en un lugar y poco en otro, las diferencias de concentración tienden a desaparecer con el tiempo. En el marco de esta "falsificación", Turing hizo un descubrimiento sorprendente: las ecuaciones que describen este modelo tienen soluciones en las que ambas sustancias están homogéneamente distribuidas en el espacio cuando no consideramos la difusión; sin embargo, esas soluciones se vuelven inestables cuando se incluye la difusión, es decir, si por lo que sea aparecen pequeñas desviaciones de la homogeneidad, estas desviaciones aumentan en lugar de disminuir, dando lugar a la aparición de diversos tipos de patrones. Esto es realmente sorprendente porque, como he mencionado antes, la difusión tiene a uniformizarlo todo, por lo que su actuación aquí es totalmente antiintuitiva.

Este marco abstracto tiene aplicaciones en infinidad de sistemas, y de hecho va más allá de la interpretación en términos de sustancias ya que las variables matemáticas consideradas pueden también entenderse como densidades o poblaciones de células, por ejemplo. Pero para entender de lo que estamos hablando, centrémonos en un ejemplo concreto, que fue estudiado por otro pionero de la biología matemática como es James D. Murray (autor de uno de los libros más influyentes del campo). Consideremos que una de esas sustancias es un "activador", es decir, que pone en marcha la acción de algo, y la otra un "inhibidor", que tiene el efecto contrario. Consideremos además que el algo que es activado es la generación de melanina, el pigmento de la piel que confiere color oscuro a aquellas zonas donde aparece. Pues bien, partiendo de la idea de Turing, Murray propuso que todos los tipos de patrones que vemos en los pelajes y pieles de los animales se podrían explicar a partir de este modelo sencillo, donde los patrones del activador y del inhibidor darían lugar a los patrones que vemos en los animales.

Para ello Murray extendió el estudio de Turing de una a dos dimensiones y calculó bajo qué condiciones se desestabiliza la solución uniforme. Así, descubrió que la solución uniforme dejaba su lugar a unos patrones u otros, y que el patrón que aparecía dependía de la forma de la superficie bidimensional considerada. De esta forma, pudo probar (siempre en el marco del modelo de Turing) dos teoremas:

Teorema 1: Las serpientes siempre tienen patrones de rayas o anillos pero no pueden tenerlos de puntos o manchas (es consecuencia de suponer que la piel de la serpiente es un rectángulo muy estrecho y largo, Figura 1).

Figura 1. Ejemplos de distintas serpientes mostrando la validez del teorema 1.

 Teorema 2: No puede haber animales con el cuerpo a rayas y la cola a manchas, pero sí al revés (en este caso se debe a que el cuerpo es aproximadamente un rectángulo más ancho que la cola, y como el mecanismo que actúa en todo el cuerpo es el mismo, si los parámetros son tales que producen rayas en el cuerpo, que es más ancho, también tienen que dar rayas en la cola, que es más estrecha, Figura 2).

Figura 2. Ejemplos de la aplicación del Teorema 2. En sentido horario empezando por la figura superior izquierda, tenemos al guepardo, al tigre, al leopardo y al okapi.

Sería demasiado largo seguir enumerando las posibilidades que aparecen sin abandonar el marco conceptual de la teoría de Turing, por lo que me limitaré a citar muy rápidamente que el número de rayas de la solución también depende de los parámetros del sistema. Así, la cabra de Valois tiene un tamaño tal que sólo hay dos manchas, mientras que los pandas tienen tres (Figura 3). Por otra parte, la aplicabilidad de la teoría, como dije más arriba, es enorme, y para muestra la Figura 4 nos muestra otros patrones de Turing que aparecen en animales marinos, tanto crustáceos como peces (donde ya no entra la melanina sino otras substancias, pero que igualmente encajan en el modelo abstracto de Turing).

Figura 3. Izquierda, cabra de Valois; derecha, Pó y De-de, los pandas del Zoo de Madrid.

Figura 4. Más allá de pelos y pieles: patrones de Turing en el mar.

Una consecuencia importante de esta descripción de los patrones es que nos conduce a cambiar nuestra forma de ver de la actuación de los genes. Antes de Turing, se pensaba que los génes de distintas células daban distintas órdenes, originando así las estructuras que vemos. Esta teoría tiene un problema muy serio, y es que las células no tienen manera de saber dónde están y por tanto qué deben hacer para hacer el patrón. Después de Turing, sabemos que lo que tienen que hacer los genes es ordenar la producción de sustancias activadoras e inhibidoras, y después la química, gobernada por la física y la matemática, hace el resto (para más información sobre cómo los genes no son los únicos responsables de la complejidad que observamos en los seres vivos y cómo hay que tener en cuenta el ambiente, los mecanismos físicos, etc., es muy recomendable el famoso libro de Brian Goodwin “Las manchas del leopardo”, o el reciente de Bascompte y Luque “Evolución y complejidad”).

Así que, ¿modelo simplificado, y por tanto falsificación? Pues no está nada mal para ser una falsificación, y eso que aquí sólo estoy describiendo una de las aplicaciones de la teoría. Ya quisieran muchos de los modelos teóricos con los que trabajan nuestros amigos los economistas ser igual de falsos (entiéndase como puya cariñosa en este blog). El modelo es además lo suficientemente preciso para ser utilizado para diseñar nuevos sistemas, y así, partiendo de fenómenos famosos como la reacción de Belousov-Zhabotinsky, se han desarrollado diversas reacciones químicas que se pueden utilizar como laboratorio de estudio de los patrones de Turing y de cómo se puede actuar sobre ellos. Este estudio es de gran importancia: por citar sólo un caso de aplicación, patrones similares a los de Turing y otras inestabilidades no lineales aparecen en la fibrilación ventricular, y controlar los patrones sirve para algo tan esencial como para desfibrilar y salvar vidas. Cito como ilustración los trabajos de grupos de investigación en química que estudian o han estudiado patrones de Turing en España, como el Grupo de Física Non Lineal en Compostela o el de Self-organized Complexity en Barcelona (y pido disculpas a aquellos a los que no incluyo aquí por falta de espacio y de memoria; por supuesto, tienen a su disposición los comentarios para dirigir a los lectores a sus trabajos). También hay más sobre patrones de Turing en el blog de Francis the (e)Mule, que aprovecho para recomendar como uno de los mejores blogs de divulgación en español (y espero añadir más recomendaciones como ésta en próximas entradas).

Aunque aquí me he centrado en la biología matemática y la formación de patrones, la obra de Turing es inmensa, sorprendente para una vida tan corta, y tiene otras facetas igualmente desconocidas. Dentro de los actos que se celebran en este año en todo el mundo por el centenario de su nacimiento, en los próximos días tendrá lugar un simposio en la Fundación Ramón Areces en Madrid donde se discutirán sus numerosas contribuciones a los distintos campos de la ciencia. En este simposio, el catedrático de matemática aplicada de la Universidad Complutense Miguel Ángel Herrero hablará, partiendo de la figura de este primer biólogo matemático, de la difícil relación entre matemáticas y biología. Como ilustración de esas otras cosas desconocidas que mencionaba, recomiendo la conferencia en el mismo simposio de mi amigo y compañero de departamento Froilán M. Dopico, que mostrará que Turing no sólo era el pionero de la informática teórica sino que también trataba las aplicaciones al cálculo numérico.

A ver si no se me olvida recordárselo a Antonio... ¡y a mi mujer!

Hay 12 comentarios
  • Gracias Anxo por el fascinante post.
    El final de Turing es más que triste. Vergonzoso diría y. Como desolador es que en el año en que se conmemora su nacimiento hace cien años todavía se le considere oficialmente un delincuente.

    • Efectivamente, Fede, es vergonzoso, y sorprendente que el gobierno británico se haya negado a rectificar semejante indignidad. Esperemos que se haga justicia a Turing (y a todos los discriminados de la misma manera) en no tardando mucho.

    • Pues para hacerle dignidad no tendríamos callar por qué se le persiguió y juzgó: por ser homosexual y tener relaciones consentidas con otros adultos. Y por qué se suicidó: porque el gobierno británico le dio a elegir entre la cárcel y la castración química. Nada es gratis, y la homofobia tampoco. Tiene un coste económico enorme por ejemplo en la productividad de las sociedades y en el desarrollo del capital humano.

  • ¡¡Ahhh!! por fin un poco de luz en un problema que me resultaba complejo...
    ¿esta teoría tiene aplicación también en otros aspectos de la morfogénesis como el lugar o la forma en la que aparecen los diversos órganos?

    • Gracias zuppi, me alegro si te he aclarado algo. Y sí, los principios de la teoría también se aplican convenientemente modificados a la formación de los órganos, sí. Los reactivos pueden ser distintos pero la idea básica es la misma.

  • Gracias, Anxo, muy bueno. Os dejo una anécdota que ilustra la mínima distancia que existía entre las diferentes ramas de la investigación en esos tiempos (y que demuestra también la gran utilidad de las contribuciones de Anxo en este blog). Resulta que un día leyéndome en detalle un artículo de Paul Samuelson acerca de la relación entre los precios de los bienes y el de los factores en equilibrio general (http://www.jstor.org/stable/10.2307/2296256), me topé con la siguiente confesión del gran Samuelson: “I am indebted to A. Turing, a mathematician friend of Professor Pigou, for pointing out that this statement was faulty and it has since been corrected in the literature.” La frase se refiere a los supuestos necesarios para la existencia de una relación one-to-one en el caso de 2 bienes y 2 factores. Samuelson había afirmado con anterioridad que la no singularidad de la matriz de unit factor requirements (requerimientos unitarios de factores?) era suficiente, pero como le señaló Turing, es importante también que los elementos de dicha matriz tengan el mismo signo (un supuesto natural dado el problema económico en cuestión).

    • Gracias Pol, efectivamente es una anécdota muy interesante. Ojalá las cosas siguieran siendo así...

  • Me pregunto la relación, si es que la hay, con la estructura de las huellas dactilares:
    http://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/10/singular-sensations/
    (si no conocéis esta serie de artículos de difusión de la matemática por Steven Strogatz en el NYT, os la recomiendo de veras)

  • Gran artículo, por desgracia en la biología nos olvidamos muy rapidamente de este grandísimo científico. Como curiosidad no solo en los animáles ni mucho menos podemos aplicar los patrones de turing, respecto a la morfogénesis en plantas se adelanto décadas al explicar como un elemento químico y su difusión pueden dar lugar a su acumulación puntual en el espacio y promover de ese modo el crecimiento diferencial. Es grandioso en cierto modo ver como se conecta el trabajo de ese otro gigante entre los gigantes que fue Darwin ( "The Power of Movement in Plants" ) con Turing a traves de su pasión por saber de las plantas y sus tropismos.

  • Si te das cuenta Anxo, es muy parecido al tipo de problema al que se enfrenta el modelo del universo inflacionario cuando trata de explicar la estructura del cosmos. El fondo cósmico original uniforme, la materia que se ordena sobre determinados algoritmos y el proceso de expansión.

    "esas soluciones se vuelven inestables cuando se incluye la difusión, es decir, si por lo que sea aparecen pequeñas desviaciones de la homogeneidad, estas desviaciones aumentan en lugar de disminuir, dando lugar a la aparición de diversos tipos de patrones"

    Gracias por el post

    • Gracias ninyure. Mis conocimientos de cosmología son escasos por no decir nulos (ya hace más de veinticinco años que aprobé Gravitación y Cosmología) así que ignoro los detalles, pero desde luego el principio básico de desestabilización de soluciones uniformes podría estar ahí debajo igualmente.

Los comentarios están cerrados.

www.plasticsurgery.com.ua/ru/operaczii/mammoplastika/mastopeksiya/

3kovra.com.ua/kovrolin/kovrolin-dlya-doma/

dapoxetine